miércoles, 21 de enero de 2009

La cuadratura de un círculo

Este curso complementa a uno de anterior titulado "La cuadratura real de un círculo". Con los dos te convertirás en un auténtico matemático y resolverás aquellas incógnitas que siempre te ha costado superar.
Capítulo 1:
Triángulo rectángulo superior e inferior
Cuando a = b = r, c ² = (a + b) ² = a ² + b ² + ab + ab = 4a ² = 4b ² = 4ab = 4r ². El cuadrado de c ² que representa gráficamente el resultado de la suma (a + b) ² y que circunscribe al círculo esta formado por cuatro cuadrados iguales. Cuatro cuadrados iguales que, entre si, tienen en común cuatro lados que son cuatro radios del círculo inscrito en el cuadrado de c ².
Cuatro lados en común a los que damos en llamar a, b, ab y ab respectivamente, por ser un lado, respectivamente, de los cuadrados a ², b ², ab y ab que forman el cuadrado de c ² (la impresión de gráficos sin cuadrados internos es más nítida).

El cuadrado de c ², que representa gráficamente al número resultante y que circunscribe al círculo, se puede transformar interiormente en otras figuras geométricas con la condición de que tengan un área equivalente, en su conjunto, al cuadrado de c ² resultante original.
Cuando a = b = r, una de las formas consiste en trazar una diagonal en cada uno de los cuatro cuadrados iguales que forman el cuadrado de c ², de manera que se obtengan ocho triángulos rectángulos iguales y que, además, cuatro de los triángulos rectángulos iguales así formados han de tener como catetos radios del círculo y quedar inscritos en el mismo.
Es decir, que con los cuatro lados en común se forman cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el círculo que el cuadrado de c ² circunscribe con solo trazar las respectivas hipotenusas.

Los cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el círculo se acoplan convenientemente, de dos en dos, y dan como resultado la formación de dos triángulos rectángulos iguales y que tienen la base en común. Base en común formada por los lados a los que hemos dado en llamar a y b y que forman, asimismo, una diagonal del círculo inscrito en el cuadrado de c ². Y la altura de ambos triángulos rectángulos son los lados a los que hemos dado en llamar ab y ab respectivamente.
Para diferenciar a los dos triángulos rectángulos iguales formados damos en llamar triángulo rectángulo superior al que queda por encima de la base en común y triángulo rectángulo inferior al que queda por debajo.

Capítulo 2: La referencia es la base común
Los lados a los que hemos dado en llamar a y b, y que forman la base común del triángulo rectángulo superior e inferior, son el sumando a y el sumando b de la suma (a + b) ² tomando como referencia la base común de los triángulos rectángulos inscritos en el círculo.
Los lados a los que hemos dado en llamar ab y ab y que son las alturas respectivas del triángulo rectángulo superior y del triángulo rectángulo inferior descomponen ambos triángulo en los dos triángulos rectángulos originales que forman cada uno de ellos. Y, además, separan en la base común que sirve de referencia al sumando a y al sumando b de manera que el triángulo rectángulo izquierdo (que damos en llamarlo izquierdo -izdo- por estar situado en la izquierda de la base común que sirve de referencia) tiene como base al sumando a y el triángulo rectángulo derecho (que damos en llamarlo derecho -dcho- por estar situado en la derecha de la base común que sirve de referencia) tiene como base al sumando b.
Cuando a c b r, c ² = (a + b) ² = a ² + b ² + ab + ab = 4r ². El sumando a, el sumando b, la altura ab y la altura ab no son radio del círculo inscrito en el cuadrado de c ². Y ab y ab son cada uno un rectángulo de área equivalente al área de un cuadrado de lado ab y ab respectivamente.

Capítulo 3: Altura
Altura = ab. La hipotenusa (hipotenusa = h) del triángulo rectángulo superior es la base común que tiene con el triángulo rectángulo inferior y es, asimismo, una diagonal del círculo en el que esta inscrito. Hipotenusa que esta formada por el sumando a y por el sumando b de la suma (a + b) ² = c ², es decir, que la hipotenusa es igual a (a + b) = c. Y que la hipotenusa al cuadrado es igual a c ² = a ² + b ² + ab + ab.
El triángulo rectángulo superior esta formado por su triángulo rectángulo izquierdo y por su triángulo rectángulo derecho.
Su triángulo rectángulo izquierdo tiene como base al sumando a y su altura es igual a ab, es decir, un cateto (cateto = ca) de su triángulo rectángulo izquierdo es a y el otro cateto es ab. La hipotenusa al cuadrado es, obviamente, a ² + ab. Hipotenusa que es el cateto izquierdo del triángulo rectángulo superior.
Su triángulo rectángulo derecho tiene como base al sumando b y su altura es igual a ab, es decir, un cateto de su triángulo rectángulo derecho es b y el otro cateto es ab. La hipotenusa al cuadrado es, obviamente, b ² + ab. Hipotenusa que es el cateto derecho del triángulo rectángulo superior.
Por lo que se cumple la igualdad del Teorema de Pitágoras: h ² = ca ² + ca ². Es decir, hipotenusa triángulo rectángulo superior es igual a (a + b) = c, h ² = c ² = a ² + b ² + ab + ab. Cateto izquierdo del triángulo rectángulo superior es igual a (a ² + ab), ca ² = a ² + ab. Cateto derecho del triángulo rectángulo superior es igual a (b ² + ab), ca ² = b ² + ab (en el gráfico para mayor claridad se forma un segundo cuadrado de c ² a partir de la base común que sirve de referencia).







Se puede calcular el valor de a partir de la igualdad altura = ab. Si la altura del triángulo superior ab no es un triángulo rectángulo, ya que no cumple con la igualdad del Teorema de Pitagoras (ángulo obtuso = ob; ángulo agudo = ag; ángulo recto = re). Todo lo anterior se aplica igualmente al triángulo rectángulo inferior.



Capítulo 4:
Triángulo rectángulo perfecto

La base común del triángulo rectángulo superior e inferior esta formada por el sumando a y por el sumando b de la suma (a + b) ² = c ² y sus respectivas alturas cumplen con la condición de ser igual a ab por lo que damos en llamarlos triángulos rectángulos perfectos.
Un triángulo rectángulo perfecto es aquel en el que la altura del mismo cumple con la condición de ser igual a ab. Y que se puede descomponer en los dos triángulos rectángulos que lo forman: el triángulo rectángulo izquierdo que tiene como base al sumando a y el triángulo rectángulo derecho que tiene como base al sumando b de la suma (a + b) ² = c ² y que son complemento el uno del otro porque juntos también cumplen con la igualdad del Teorema de Pitagoras.
Es decir, un triángulo rectángulo perfecto es aquel en el que su hipotenusa es una diagonal del círculo en el que esta inscrito.



Capítulo 5:
Dos triángulos rectángulos
El triángulo llamado obtusángulo y que tiene un ángulo obtuso, el triángulo llamado ocutángulo y que tiene sus tres ángulos agudos y el triángulo rectángulo que tiene un ángulo recto, están formados por dos triángulos rectángulos. Es decir, sólo hay triángulos rectángulos.
El triángulo rectángulo izquierdo de los cuales tiene como base al sumando a y el triángulo rectángulo derecho tiene como base al sumando b de la suma (a + b) ² = c ². Si su altura, que es la misma para ambos, cumple con la condición de ser igual a ab son complemento el uno del otro, es decir, que forman juntos un triángulo rectángulo perfecto.
Si su altura no cumple con la condición de ser igual a ab, entonces no son complemento el uno del otro, es decir, no forman juntos un triángulo rectángulo. Pero si pueden formar con sus respectivos complementos, cada uno, un triángulo rectángulo perfecto.